Minh hoạ Trực quan các Định lý Hình học

Lịch sử

Tính chất này được nhà toán học Leonhard Euler phát hiện năm 1765. Ông chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ (không đều), ba điểm đặc biệt là trực tâm (H), trọng tâm (G) và tâm đường tròn ngoại tiếp (O) luôn thẳng hàng. Đường thẳng nối chúng về sau được gọi là Đường thẳng Euler. Tâm đường tròn chín điểm (N) — được xác định muộn hơn — cũng nằm trên đường thẳng này.

Tỉ lệ khoảng cách

Trọng tâm $G$ chia đoạn $OH$ theo tỉ lệ $1 : 2$. Tâm đường tròn chín điểm $N$ là trung điểm của $OH$. Cụ thể:

Công thức véc-tơ & độ dài

Với gốc đặt tại tâm ngoại tiếp $O$, véc-tơ tới trực tâm là tổng ba véc-tơ đỉnh. Khoảng cách $OH$ được tính qua bán kính ngoại tiếp $R$ và ba cạnh $a, b, c$:

Phương trình đường thẳng Euler

Trong hệ toạ độ tam tuyến (trilinear) và hệ toạ độ trọng tâm (barycentric) với các góc $A, B, C$, đường thẳng Euler có phương trình:

Các điểm đặc biệt & trường hợp riêng

• Ngoài $H, G, O, N$, đường thẳng Euler còn đi qua nhiều tâm khác như điểm de Longchamps, điểm Schiffler, điểm Exeter và Gossard perspector.
• Tam giác đều: bốn điểm $H, G, O, N$ trùng nhau nên đường thẳng Euler không xác định.
• Tam giác cân: tâm đường tròn nội tiếp ($I$) cũng nằm trên đường thẳng Euler (đây là điều kiện cần và đủ).
• Đường thẳng Euler song song với cạnh $BC$ khi và chỉ khi $\tan B \cdot \tan C = 3$.

Lịch sử & tên gọi

Năm 1822, Karl Wilhelm Feuerbach chứng minh 6 điểm (3 chân đường cao và 3 trung điểm cạnh) cùng nằm trên một đường tròn. Sau đó Olry Terquem bổ sung 3 điểm còn lại và đặt tên đường tròn chín điểm. Vì vậy đường tròn này còn được gọi là đường tròn Feuerbach, đường tròn Terquem, hay đường tròn trung bình.

Chín điểm đặc biệt

• 3 trung điểm các cạnh tam giác ($M_a, M_b, M_c$).
• 3 chân đường cao hạ từ mỗi đỉnh ($H_a, H_b, H_c$).
• 3 trung điểm của đoạn nối mỗi đỉnh với trực tâm ($E_a, E_b, E_c$).

Tâm & bán kính

Tâm chín điểm $N$ là trung điểm của đoạn nối trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O$; bán kính bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$:

Quan hệ với đường thẳng Euler

Tâm $N$ nằm trên đường thẳng Euler, ở vị trí một phần tư đoạn tính từ trọng tâm $G$ đến trực tâm $H$:

Phép vị tự với đường tròn ngoại tiếp

Đường tròn chín điểm là ảnh của đường tròn ngoại tiếp qua phép vị tự tâm $H$ (trực tâm) với tỉ số $k = \tfrac{1}{2}$. Điều này giải thích vì sao bán kính giảm đúng một nửa.

Định lý Feuerbach

Đường tròn chín điểm tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp và tiếp xúc ngoài với cả ba đường tròn bàng tiếp của tam giác. Tiếp điểm với đường tròn nội tiếp được gọi là điểm Feuerbach. (Xem minh hoạ ở mục 3.)

Phát biểu định lý

Được Karl Wilhelm Feuerbach công bố năm 1822: Đường tròn chín điểm của một tam giác tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp và tiếp xúc ngoài với cả ba đường tròn bàng tiếp. Như vậy đường tròn chín điểm tiếp xúc với đúng bốn đường tròn đặc biệt của tam giác.

Điểm Feuerbach & tam giác Feuerbach

• Điểm Feuerbach $\big(X(11)\big)$: tiếp điểm giữa đường tròn chín điểm và đường tròn nội tiếp.
• Ba tiếp điểm còn lại với ba đường tròn bàng tiếp tạo thành tam giác Feuerbach.
• Điểm Feuerbach nằm trên đường thẳng nối tâm nội tiếp $I$ và tâm chín điểm $N$ — hai tâm của hai đường tròn tiếp xúc.

Toạ độ điểm Feuerbach

Với các góc $A, B, C$, các cạnh $a, b, c$ và nửa chu vi $s = \tfrac{a+b+c}{2}$, điểm Feuerbach có toạ độ tam tuyến (trilinear) và toạ độ trọng tâm (barycentric):

Tính chất & lịch sử

• Xét khoảng cách từ điểm Feuerbach tới ba đỉnh của tam giác trung bình (medial triangle): khoảng cách lớn nhất bằng tổng hai khoảng cách còn lại.
• Năm 1866, John Casey đưa ra một chứng minh rất ngắn gọn dựa trên định lý Casey.
• Định lý Feuerbach nay trở thành một bài toán kiểm chứng kinh điển cho các hệ chứng minh định lý tự động.

Phát biểu định lý

Được Victor Thébault đề xuất năm 1949 trên American Mathematical Monthly (lời giải công bố năm 1951): Cho tam giác $ABC$ với ba chân đường cao $A', B', C'$. Ba đường thẳng Euler của ba tam giác $AB'C'$, $A'BC'$, $A'B'C$ đồng quy tại một điểm $P$ nằm trên đường tròn chín điểm của tam giác $ABC$.

Ý tưởng chứng minh

• Ba tam giác $AB'C'$, $A'BC'$, $A'B'C$ được cắt ra khỏi tam giác $ABC$ bởi tam giác orthic (tam giác chân đường cao $A'B'C'$) qua ba đường phản song (antiparallel), nên chúng đồng dạng thuận với nhau.
• Tâm của các phép vị tự quay (spiral similarity) chính là các chân đường cao.
• Tam giác orthic $A'B'C'$ đóng vai trò tam giác đồng dạng, còn đường tròn chín điểm của $ABC$ là đường tròn đồng dạng — nơi ba đường thẳng Euler gặp nhau.

Tính chất điểm đồng quy

Điểm đồng quy $P$ có một tính chất khoảng cách đẹp: trong ba khoảng cách từ $P$ tới ba chân đường cao, khoảng cách lớn nhất bằng tổng hai khoảng cách còn lại:

Phát biểu & lịch sử

Floor van Lamoen nêu bài toán năm 2000: Ba đường trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ; tâm đường tròn ngoại tiếp của 6 tam giác nhỏ này cùng nằm trên một đường tròn — gọi là đường tròn Van Lamoen. Lời giải được Kin Y. Li đưa ra năm 2001 và ban biên tập American Mathematical Monthly xác nhận năm 2002.

Cấu tạo 6 tam giác nhỏ

Sáu tam giác nhỏ được tạo thành khi nối mỗi đỉnh với trọng tâm $G$ và với trung điểm hai cạnh kề. Vì cả ba trung tuyến đều đi qua $G$, mỗi tam giác nhỏ đều có một đỉnh chung là trọng tâm.

Tâm đường tròn & tính duy nhất

• Tâm của đường tròn Van Lamoen là một tâm tam giác, ứng với số hiệu $X(1153)$ trong bảng Encyclopedia of Triangle Centers của Clark Kimberling.
• Kết quả chỉ đúng khi dùng trọng tâm. Năm 2003, Myakishev và Woo chứng minh rằng nếu thay bằng một điểm trong bất kỳ khác, 6 tâm ngoại tiếp nói chung không đồng viên.
• Nếu thay trọng tâm bằng trực tâm, 6 tâm ngoại tiếp suy biến thành 3 điểm Euler trên đường tròn chín điểm (liên hệ với mục 2).