Bước 1 — Định lý Sin tìm ranh giới góc

Tam giác có ba cạnh $x, y, c$ và ba góc đối diện $X, Y, 60^\circ$. Theo Định lý Sin:

Bước 2 — Biến tổng thành tích

Cộng $x$ và $y$ rồi dùng công thức $\sin X + \sin Y = 2\sin\!\frac{X+Y}{2}\cos\!\frac{X-Y}{2}$. Vì $X + Y = 120^\circ$ nên $\frac{X+Y}{2} = 60^\circ$, $\sin 60^\circ$ triệt tiêu và ta thu được:

Bước 3 — Cú va chạm với số học

Ta có hai thông tin về cùng một tam giác. Từ số học: $z^3 = (x+y)\,c^2$. Từ lượng giác: $\cos\!\frac{X-Y}{2} = \frac{x+y}{2c}$. Hãy ghép chúng lại.

Ý 1 — Hai thừa số là $x+y$ và $c^2$. Chú ý phương trình là $z^3 = (x+y)\cdot c^2$, nên tích gồm hai thừa số $(x+y)$ và $\mathbf{c^2}$ (không phải $c$). Giả sử chúng không có ước chung (trường hợp "tối giản"). Nhớ lại: nếu hai số không có ước chung mà tích là lập phương, thì từng số cũng phải là lập phương (phân tích ra thừa số nguyên tố, mỗi số mũ đều chia hết cho $3$). Vậy tồn tại các số nguyên dương $u, w$ với:

Từ $c^2 = w^3$ suy ra $c$ cũng là lập phương. Số $c^2$ vừa là số chính phương, vừa là lập phương. Xét thừa số nguyên tố $c = \prod p_i^{a_i}$ thì $c^2 = \prod p_i^{2a_i}$; để đây là lập phương cần $3 \mid 2a_i$, mà $\gcd(2,3)=1$ nên $3 \mid a_i$. Vậy $c$ là lập phương đúng: tồn tại số nguyên dương $v$ với

Ý 2 — Thay vào đẳng thức lượng giác. Thế $x+y = u^3$ và $c = v^3$ vào công thức $\cos\!\frac{X-Y}{2} = \frac{x+y}{2c}$, vế phải trở thành $\frac{u^3}{2v^3} = \frac{1}{2}\left(\frac{u}{v}\right)^3$ — đúng một nửa của một phân số lũy thừa $3$:

Chỗ "va chạm": vế trái là $\cos$ của một góc trong tam giác — một đại lượng hình học "tự do", có thể là số vô tỉ tùy tam giác. Vế phải lại bị số học ép thành đúng một nửa của một phân số lập phương. Hai yêu cầu này rất khó cùng đúng, và chính sự "chật chội" đó sẽ dẫn tới mâu thuẫn ở Bước 4.

Bước 4 — Vòng lặp lùi vô hạn (vì sao vô nghiệm)

Đây là ý tưởng "lùi vô hạn" (infinite descent) mà Fermat rất thích. Cách suy luận như một trò chơi:

• Giả sử có một bộ nghiệm nguyên dương $(x, y, z)$. Nó cho ta một tam giác $60^\circ$ với cạnh nguyên dương.
• Từ đẳng thức $\cos\!\frac{X-Y}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{u}{v}\right)^3$, dùng công thức chia đôi góc quen thuộc $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$, ta "gấp đôi/chia đôi" góc để dựng được một tam giác $60^\circ$ mới nhỏ hơn mà cạnh vẫn là số nguyên dương.
• Tam giác nhỏ hơn này lại là một bộ nghiệm nguyên dương mới, nhỏ hơn bộ ban đầu. Lặp lại bước trên cho nó, ta lại được một tam giác nhỏ hơn nữa... và cứ thế mãi.

Vấn đề nằm ở đây: ta tạo ra được một dãy vô hạn các số nguyên dương ngày càng nhỏ:

Nhưng điều này không thể xảy ra! Trong tập số nguyên dương, không có dãy giảm mãi mãi mà vẫn dương — cứ giảm thì sớm muộn cũng chạm đáy. (Hình động ở trên minh họa đúng điều này: chuỗi tam giác cứ nhỏ dần về $0$.) Mâu thuẫn xuất hiện, nghĩa là giả sử ban đầu sai: không hề tồn tại bộ nghiệm nguyên dương nào. Tam giác buộc phải "sụp đổ" thành đường thẳng, tức $x = 0$ hoặc $y = 0$.